若a,b,c>0.abc=8。求证1<1/√(1+a)+1/√(1+b)+1/√(1+c)<2

首先证明左半部分，应用放缩法：
1/√(1+a)+1/√(1+b)+1/√(1+c)>1/√(1+8)+1/√(1+8)+1/√(1+8)=1

再证明右半部分，还是应用放缩法：
1/√(1+a)+1/√(1+b)+1/√(1+c)
当其中的两个趋近于0，另一个无穷大的时候，有最大值，最大值是2
所以整个式子<2

上面的左半部分证明是错的，不能那样证明（不能认为abc都是小于8的，与题意不符）：
可以这样。
对于 1/√(1+a)=1/√(1+a)*1 于是>=2/(a+2)
则原式>=2/(a+2)+2/(b+2)+2/(c+2)
通分得： [4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+24]/[abc+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+8]
因为abc=8,同时分子分母有一共同的项：4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)
所以明显可以得到:原式>1

至于右半部分可以用极限的方式看。

ABC